12) Решите уравнение x + 10√x - 24 = 0.

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \sqrt{x} \). Тогда \( x = y^2 \) (при условии \( y \ge 0 \)).

Исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 + 10y - 24 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \).

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ y_2 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как мы ввели условие \( y = \sqrt{x} \ge 0 \), то корень \( y_2 = -12 \) не подходит.

Остаётся \( y_1 = 2 \).

Вернёмся к замене: \( \sqrt{x} = 2 \).

Возведём обе части в квадрат:

\[ x = 2^2 \]\[ x = 4 \]

Проверка: \( 4 + 10\sqrt{4} - 24 = 4 + 10 \cdot 2 - 24 = 4 + 20 - 24 = 24 - 24 = 0 \). Уравнение верно.

Ответ: 4