15) Решите неравенство log₂ x + 5 log₂ x + 6 > 0.

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_2 x \).

Неравенство примет вид:

\[ y + 5y + 6 > 0 \]

Сложим подобные члены:

\[ 6y + 6 > 0 \]

Решим линейное неравенство:

\[ 6y > -6 \]\[ y > -1 \]

Теперь вернёмся к замене: \( \log_2 x > -1 \).

Чтобы снять логарифм, умножим обе части на основание логарифма \( 2 \) (так как \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется):

\[ x > 2^{-1} \]\[ x > \frac{1}{2} \]

Кроме того, область определения логарифма требует, чтобы \( x > 0 \). Наше решение \( x > \frac{1}{2} \) уже удовлетворяет этому условию.

Ответ: \( x > \frac{1}{2} \)