13) Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ – 2x² - 3 на промежутке [0; 2].

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном промежутке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Вычислить значения функции в критических точках, попавших в промежуток, и на концах промежутка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Найдём производную:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - 3) = 3x^2 - 4x \]

2. Найдём критические точки:

\[ 3x^2 - 4x = 0 \]\[ x(3x - 4) = 0 \]

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( 3x - 4 = 0 \) => \( x_2 = \frac{4}{3} \).

3. Вычислим значения функции на концах промежутка и в критических точках, попавших в промежуток [0; 2]:

Конец промежутка \( x = 0 \):

\[ f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 - 3 = -3 \]

Критическая точка \( x = \frac{4}{3} \) (она попадает в промежуток [0; 2]):

\[ f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 - 3 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} - 3 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} - 3 \]

Приведём к общему знаменателю 27:

\[ f(\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{32 \cdot 3}{27} - \frac{3 \cdot 27}{27} = \frac{64 - 96 - 81}{27} = \frac{-32 - 81}{27} = \frac{-113}{27} \]

Конец промежутка \( x = 2 \):

\[ f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 3 = 8 - 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 8 - 3 = -3 \]

4. Сравним полученные значения:

\( f(0) = -3 \)

\( f(\frac{4}{3}) = -\frac{113}{27} \) (приблизительно -4.185)

\( f(2) = -3 \)

Наименьшее значение равно \( -\frac{113}{27} \), наибольшее значение равно \( -3 \).

Ответ: Наибольшее значение равно -3, наименьшее значение равно -113/27.