11) Решите уравнение sin² x - sin x cos x - 2 cos² x = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и тогда \( \sin^2 x = 1 \). Подставив это в исходное уравнение, получим \( 1 - 0 - 0 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \).

Делим на \( \cos^2 x \):

\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

Получаем:

\[ \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 2 = 0 \]

Сделаем замену: \( y = \text{tg} x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \text{tg} x \).

1) \( \text{tg} x = 2 \) => \( x = \text{arctg}(2) + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2) \( \text{tg} x = -1 \) => \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \text{arctg}(2) + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).