8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = x⁴ - 8x² + 5, на [-3; 2]

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (которые принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции:

\( y' = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 4x^3 - 16x = 0 \)

\( 4x(x^2 - 4) = 0 \)

\( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \).

3. Определим, какие из критических точек принадлежат отрезку [-3; 2]:

\( x = 0 \) принадлежит [-3; 2].

\( x = 2 \) принадлежит [-3; 2].

\( x = -2 \) принадлежит [-3; 2].

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Конец отрезка: \( x = -3 \)

\( y(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 9 + 5 = 14 \)

Критические точки:

\( y(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \)

\( y(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -16 + 5 = -11 \)

\( y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \)

Конец отрезка: \( x = 2 \) (уже вычислено).

5. Сравним полученные значения:

Значения функции: 14, 5, -11.

Наибольшее значение равно 14.

Наименьшее значение равно -11.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее значение равно -11.