1. Решить иррациональное уравнение: √2x + 7 = x + 2

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2x + 7})^2 = (x + 2)^2 \)

\( 2x + 7 = x^2 + 4x + 4 \)

Перенесём все члены в правую часть:

\( x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 = 0 \)

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Проверим корни:

Для \( x = 1 \): \( \sqrt{2 \cdot 1 + 7} = \sqrt{9} = 3 \). \( 1 + 2 = 3 \). \( 3 = 3 \). Корень \( x = 1 \) подходит.

Для \( x = -3 \): \( \sqrt{2 \cdot (-3) + 7} = \sqrt{-6 + 7} = \sqrt{1} = 1 \). \( -3 + 2 = -1 \). \( 1 \neq -1 \). Корень \( x = -3 \) не подходит.

Ответ: x = 1.