6. Решить логарифмическое неравенство: log8(x² - 4x + 3) < 1

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма:

\( x^2 - 4x + 3 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 4x + 3 = 0 \):

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \)

\( x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)

Парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x + 3 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 3 \).

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 8 > 1 \), то знак неравенства сохраняется:

\( x^2 - 4x + 3 < 8^1 \)

\( x^2 - 4x + 3 < 8 \)

\( x^2 - 4x - 5 < 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 4x - 5 = 0 \):

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

\( x_3 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)

\( x_4 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \)

Парабола \( y = x^2 - 4x - 5 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) при \( -1 < x < 5 \).

Теперь объединим решение неравенства \( -1 < x < 5 \) с ОДЗ \( x < 1 \) или \( x > 3 \).

Пересечение интервалов:

\( (-1 < x < 1) \) или \( (3 < x < 5) \).

Ответ: (-1; 1) U (3; 5).