5. Вычислить интеграл (определенный): ∫(-1 to 1) (x² + 1)dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 1 \).

Первообразная \( F(x) = \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} \)

\( = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right) \)

\( = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 \right) \)

\( = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \)

\( = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3} \)

Ответ: 8/3.