7. Решить тригонометрическое уравнение: 2 sin² x + 3 cos x = 0

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\( 2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \)

\( 2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0 \)

\( -2\cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0 \)

Умножим на -1:

\( 2\cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда \( -1 ≤ t ≤ 1 \).

\( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)

\( t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -1/2 \)

Так как \( t = \cos x \), то \( t \) должно быть в пределах от -1 до 1. Значение \( t_1 = 2 \) не подходит, так как \( 2 > 1 \).

Рассмотрим \( t_2 = -1/2 \).

\( \cos x = -1/2 \)

Это значение косинуса соответствует углам \( x = \frac{2\pi}{3} \) и \( x = \frac{4\pi}{3} \) (или \( -\frac{2\pi}{3} \)) в единичной окружности.

Общее решение уравнения:

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: x = ±\(\frac{2\pi}{3}\) + 2πn, n ∈ Z.