8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = 2x³ + 3x² - 36x на [-4; 3]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Найдём производную функции:

\( y' = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' \)

\( y' = 6x^2 + 6x - 36 \)

2. Найдём критические точки:

Приравняем производную к нулю:

\( 6x^2 + 6x - 36 = 0 \)

Разделим на 6:

\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)

Обе критические точки \( x = 2 \) и \( x = -3 \) принадлежат отрезку \( [-4; 3] \).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• Значение в левом конце отрезка \( x = -4 \):

\( y(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64 \)

• Значение в критической точке \( x = -3 \):

\( y(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81 \)

• Значение в критической точке \( x = 2 \):

\( y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = 28 - 72 = -44 \)

• Значение в правом конце отрезка \( x = 3 \):

\( y(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = 81 - 108 = -27 \)

4. Сравним полученные значения:

Значения функции: 64, 81, -44, -27.

Наибольшее значение равно 81 (при \( x = -3 \)).

Наименьшее значение равно -44 (при \( x = 2 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 81, наименьшее значение равно -44.