7. Решить тригонометрическое уравнение: 2tg² x - tan x - 3 = 0

Решение:

Решим тригонометрическое уравнение \( 2\tan^2 x - \tan x - 3 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( \tan x \). Пусть \( y = \tan x \).

Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 - y - 3 = 0 \).

1. Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \).
2. Найдем корни:
• \( y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
• \( y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \tan x \).

1. Первый случай: \( \tan x = \frac{3}{2} \).
• Тогда \( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Второй случай: \( \tan x = -1 \).
• Тогда \( x = \arctan(-1) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Известно, что \( \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \).
• Следовательно, \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).