4. Найти производную функции:

Решение:

1. \( y = 2x^5 + x^3 - 4x^2 + 3 \)

\( y' = (2x^5)' + (x^3)' - (4x^2)' + (3)' \)

\( y' = 2 \cdot 5x^4 + 3x^2 - 4 \cdot 2x + 0 \)

\( y' = 10x^4 + 3x^2 - 8x \)

2. \( y = (x^3 - 2x)(x^2 - x) \)

Сначала раскроем скобки:

\( y = x^3 \cdot x^2 - x^3 \cdot x - 2x \cdot x^2 + 2x \cdot x \)

\( y = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 \)

Теперь найдём производную:

\( y' = (x^5)' - (x^4)' - (2x^3)' + (2x^2)' \)

\( y' = 5x^4 - 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x \)

\( y' = 5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x \)

3. \( y = \frac{2x^2}{1-7x} \)

Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 2x^2 \) и \( v = 1-7x \).

\( u' = (2x^2)' = 4x \)

\( v' = (1-7x)' = -7 \)

\( y' = \frac{(4x)(1-7x) - (2x^2)(-7)}{(1-7x)^2} \)

\( y' = \frac{4x - 28x^2 + 14x^2}{(1-7x)^2} \)

\( y' = \frac{4x - 14x^2}{(1-7x)^2} \)

4. \( y = 3 \cos 3x \)

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная \( \cos u \) равна \( -\sin u \cdot u' \).

\( y' = 3 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' \)

\( y' = -3 \sin 3x \cdot 3 \)

\( y' = -9 \sin 3x \)

Ответ: 1) \( 10x^4 + 3x^2 - 8x \); 2) \( 5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x \); 3) \( \frac{4x - 14x^2}{(1-7x)^2} \); 4) \( -9 \sin 3x \).