2. Решить логарифмическое уравнение: log3(x - 2) - log3(x + 6) = 2

Решение:

ОДЗ: \( x - 2 > 0 \) и \( x + 6 > 0 \). Следовательно, \( x > 2 \).

Используем свойство логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

\( \log_3 \frac{x - 2}{x + 6} = 2 \)

Переходим к показательной форме:

\( \frac{x - 2}{x + 6} = 3^2 \)

\( \frac{x - 2}{x + 6} = 9 \)

Умножаем обе части на \( x + 6 \) (помня, что \( x > 2 \), поэтому \( x + 6 \) не равно нулю):

\( x - 2 = 9(x + 6) \)

\( x - 2 = 9x + 54 \)

Переносим члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую:

\( -2 - 54 = 9x - x \)

\( -56 = 8x \)

\( x = \frac{-56}{8} = -7 \)

Полученный корень \( x = -7 \) не удовлетворяет условию ОДЗ \( x > 2 \).

Ответ: корней нет.