8. Найдите все решения уравнения (sin x - cos x)² = 6 принадлежащие отрезку [0; 2π]

Решение:

Раскроем квадрат выражения в левой части уравнения.

1. \( (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x \)
2. Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и формулу двойного угла \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \), получим:
   \( 1 - \sin 2x = 6 \)
3. Выразим \( \sin 2x \):
   \( \sin 2x = 1 - 6 \)
   \( \sin 2x = -5 \)
4. Уравнение \( \sin \alpha = c \) имеет решения только при \( -1 \le c \le 1 \). Так как \( -5 \) не входит в этот промежуток, то уравнение \( \sin 2x = -5 \) не имеет решений.

Ответ: Решений нет.