13. Вычислить определенный интеграл. \( \int_{-1}^{2} x^2 dx \)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \).

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 \):
   \( F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \)
2. Теперь вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
   \( F(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \)
   \( F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} = \frac{-1}{3} \)
3. Вычислим определенный интеграл:
   \( \int_{-1}^{2} x^2 dx = F(2) - F(-1) = \frac{8}{3} - (\frac{-1}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Ответ: 3.