12. Найдите неопределенный интеграл (интеграл функции f (x³ + cos x) dx

Решение:

Для нахождения неопределенного интеграла, проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила интегрирования.

1. Разделим интеграл на сумму интегралов:
   \( \int (x^3 + \cos x) dx = \int x^3 dx + \int \cos x dx \)
2. Применим правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
   \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = \frac{x^4}{4} + C_1 \)
3. Применим правило интегрирования косинуса \( \int \cos x dx = \sin x + C \):
   \( \int \cos x dx = \sin x + C_2 \)
4. Сложим полученные результаты и объединим константы интегрирования \( C_1 + C_2 = C \):
   \( \frac{x^4}{4} + \sin x + C \)

Ответ: \( \frac{x^4}{4} + \sin x + C \).