11. Докажите, что функция g(x) = x³ - 6x² - 63х является первообразной функции y(x) = 3x² - 12x - 63

Решение:

Чтобы доказать, что функция \( g(x) \) является первообразной для функции \( y(x) \), нужно найти производную от \( g(x) \) и проверить, совпадает ли она с \( y(x) \).

1. Найдем производную функции \( g(x) \):
   \( g'(x) = (x^3 - 6x^2 - 63x)' \)
2. Применяем правила дифференцирования:
   \( g'(x) = 3x^{3-1} - 6 · 2x^{2-1} - 63x^{1-1} \)
   \( g'(x) = 3x^2 - 12x - 63x^0 \)
   \( g'(x) = 3x^2 - 12x - 63 \)
3. Сравним полученную производную \( g'(x) \) с функцией \( y(x) \):
   \( g'(x) = 3x^2 - 12x - 63 \)
   \( y(x) = 3x^2 - 12x - 63 \)
4. Видим, что \( g'(x) = y(x) \).

Вывод: Так как производная от \( g(x) \) равна \( y(x) \), то \( g(x) \) является первообразной для \( y(x) \).