8. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а диагонали боковых граней 2√10см и 2√17см. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания равны \( a \) и \( b \), а высота параллелепипеда равна \( c \). Диагональ основания \( d_o = \sqrt{a^2 + b^2} = 10 \). Диагонали боковых граней \( d_1 = \sqrt{a^2 + c^2} = 2\sqrt{10} \) и \( d_2 = \sqrt{b^2 + c^2} = 2\sqrt{17} \).

Возведём в квадрат:

\( a^2 + b^2 = 100 \)

\( a^2 + c^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40 \)

\( b^2 + c^2 = (2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68 \)

Сложим второе и третье уравнения:

\( (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 40 + 68 \)

\( a^2 + b^2 + 2c^2 = 108 \)

Подставим \( a^2 + b^2 = 100 \):

\( 100 + 2c^2 = 108 \)

\( 2c^2 = 8 \)

\( c^2 = 4 \)

\( c = 2 \) (так как высота положительна).

Теперь найдём \( a^2 \) и \( b^2 \). Из \( a^2 + c^2 = 40 \), получаем \( a^2 + 4 = 40 \), \( a^2 = 36 \), \( a = 6 \).

Из \( b^2 + c^2 = 68 \), получаем \( b^2 + 4 = 68 \), \( b^2 = 64 \), \( b = 8 \).

Объём параллелепипеда \( V = abc = 6 \cdot 8 \cdot 2 = 96 \) см³.

Ответ: \( 96 \) см³.