7. Вычислите: $$\frac{5}{9} : \left( \frac{7}{9} + \frac{11}{18} \right)$$. Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Решение:

1. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 18 равен 18.
2. \( \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} \).
3. \( \frac{11}{18} \) остаётся без изменений.
4. Выполним сложение в скобках: \[ \frac{14}{18} + \frac{11}{18} = \frac{14 + 11}{18} = \frac{25}{18} \].
5. Теперь выполним деление: \[ \frac{5}{9} : \frac{25}{18} \].
6. Заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{25} \].
7. Сократим общие множители: \( 5 \) и \( 25 \) (25 делится на 5, получается 5); \( 9 \) и \( 18 \) (18 делится на 9, получается 2).
8. \[ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}^1} \cdot \frac{18^2}{\cancel{25}^5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} \].

Ответ: \(\frac{2}{5}\).