7. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:

Решение:

1. \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2} \)

Подставим \( x=1 \) в выражение:

\[ \frac{1^2-1}{\sqrt{1+3}-2} = \frac{1-1}{\sqrt{4}-2} = \frac{0}{2-2} = \frac{0}{0} \]

Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), поэтому применяем правило Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по \( x \):

Производная числителя: \( (x^2-1)' = 2x \).

Производная знаменателя: \( (\sqrt{x+3}-2)' = \left((x+3)^{1/2}-2\right)' = \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+3}} \).

Теперь вычислим предел от отношения производных:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x}{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}} = \lim_{x \to 1} 2x \cdot 2\sqrt{x+3} = \lim_{x \to 1} 4x\sqrt{x+3} \]

Подставим \( x=1 \):

\[ 4(1)\sqrt{1+3} = 4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8 \]

2. \( \lim_{x \to 1} \frac{x-\cos(x-1)}{e^{2x}-e^2} \)

Подставим \( x=1 \) в выражение:

\[ \frac{1-\cos(1-1)}{e^{2(1)}-e^2} = \frac{1-\cos(0)}{e^2-e^2} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0} \]

Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \), применяем правило Лопиталя:

Производная числителя: \( (x-\cos(x-1))' = 1 - (-\sin(x-1)) \cdot 1 = 1 + \sin(x-1) \).

Производная знаменателя: \( (e^{2x}-e^2)' = e^{2x} \cdot 2 - 0 = 2e^{2x} \).

Теперь вычислим предел от отношения производных:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{1+\sin(x-1)}{2e^{2x}} \]

Подставим \( x=1 \):

\[ \frac{1+\sin(1-1)}{2e^{2(1)}} = \frac{1+\sin(0)}{2e^2} = \frac{1+0}{2e^2} = \frac{1}{2e^2} \]

Ответ: 1) \( 8 \); 2) \( \frac{1}{2e^2} \).