3. Написать уравнение касательной и нормали к кривой \( y = x^5 - x \) в точке \( x_0 = -2 \).

Решение:

1. Уравнение касательной

Сначала найдем значение функции в точке \( x_0 = -2 \):

\[ y_0 = (-2)^5 - (-2) = -32 + 2 = -30 \]

Теперь найдем производную функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной:

\[ y' = (x^5 - x)' = 5x^4 - 1 \]

Вычислим значение производной в точке \( x_0 = -2 \):

\[ k = y'(-2) = 5(-2)^4 - 1 = 5(16) - 1 = 80 - 1 = 79 \]

Уравнение касательной к графику функции в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид \( y - y_0 = k(x - x_0) \). Подставляем найденные значения:

\[ y - (-30) = 79(x - (-2)) \]
\[ y + 30 = 79(x + 2) \]
\[ y + 30 = 79x + 158 \]
\[ y = 79x + 158 - 30 \]
\[ y = 79x + 128 \]

2. Уравнение нормали

Угловой коэффициент нормали \( k_{norm} \) перпендикулярен угловому коэффициенту касательной \( k \), то есть \( k_{norm} = -\frac{1}{k} \).

\[ k_{norm} = -\frac{1}{79} \]

Уравнение нормали имеет вид \( y - y_0 = k_{norm}(x - x_0) \). Подставляем значения:

\[ y - (-30) = -\frac{1}{79}(x - (-2)) \]
\[ y + 30 = -\frac{1}{79}(x + 2) \]
\[ 79(y + 30) = -(x + 2) \]
\[ 79y + 2370 = -x - 2 \]
\[ x + 79y + 2370 + 2 = 0 \]
\[ x + 79y + 2372 = 0 \]

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 79x + 128 \). Уравнение нормали: \( x + 79y + 2372 = 0 \).