4. Вычислить дифференциал функции \( f(x) = -\frac{x}{4x+1} \) в точке \( x_0=0 \), если \( \Delta x = 0,01 \).

Решение:

Дифференциал функции \( df \) находится по формуле \( df = f'(x) dx \).

Сначала найдем производную функции \( f(x) = -\frac{x}{4x+1} \) используя правило частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

Пусть \( u = x \) и \( v = 4x+1 \). Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 4 \).

\[ f'(x) = -\frac{1 \cdot (4x+1) - x \cdot 4}{(4x+1)^2} \]
\[ f'(x) = -\frac{4x+1 - 4x}{(4x+1)^2} \]
\[ f'(x) = -\frac{1}{(4x+1)^2} \]

Теперь вычислим значение производной в точке \( x_0 = 0 \):

\[ f'(0) = -\frac{1}{(4(0)+1)^2} = -\frac{1}{1^2} = -1 \]

Дифференциал функции \( df \) равен \( f'(x_0) \Delta x \) (так как \( dx = \Delta x \)).

\[ df = f'(0) \Delta x = (-1) \cdot 0,01 = -0,01 \]

Ответ: \( -0,01 \).