5. Найти приближенное значение функции \( f(x) = \sqrt{x} \) в точке \( x = 9,2 \) с помощью дифференциала.

Решение:

Для нахождения приближенного значения функции будем использовать формулу \( f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \).

Для функции \( f(x) = \sqrt{x} \) выберем точку \( x_0 \), близкую к \( 9,2 \) и для которой легко вычислить значение функции и её производной. Возьмем \( x_0 = 9 \).

Тогда \( \Delta x = x - x_0 = 9,2 - 9 = 0,2 \).

Найдем значение функции в точке \( x_0 = 9 \):

\[ f(9) = \sqrt{9} = 3 \]

Найдем производную функции \( f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \):

\[ f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 9 \):

\[ f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \]

Теперь подставим значения в формулу приближенного значения:

\[ f(9,2) \approx f(9) + f'(9) \Delta x \]
\[ f(9,2) \approx 3 + \frac{1}{6} \cdot 0,2 \]
\[ f(9,2) \approx 3 + \frac{0,2}{6} \]
\[ f(9,2) \approx 3 + \frac{2}{60} \]
\[ f(9,2) \approx 3 + \frac{1}{30} \]
\[ f(9,2) \approx 3 + 0,0333... \]
\[ f(9,2) \approx 3,0333... \]

Ответ: Приближенное значение функции \( f(x) = \sqrt{x} \) в точке \( x = 9,2 \) равно \( 3 + \frac{1}{30} \) или приблизительно \( 3,0333 \).