9. Найти промежутки монотонности и точки экстремума, промежутки выпуклости и точки перегиба функции y = -2x³ - 6х². Построить на основе исследования график функции.

Исследование функции \( y = -2x^3 - 6x^2 \)

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

2. Чётность/Нечётность:

\( y(-x) = -2(-x)^3 - 6(-x)^2 = 2x^3 - 6x^2 \). \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \), следовательно, функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: \( x = 0 \) \( \Rightarrow y = -2(0)^3 - 6(0)^2 = 0 \). Точка \( (0; 0) \).

С осью Ox: \( y = 0 \) \( \Rightarrow -2x^3 - 6x^2 = 0 \) \( \Rightarrow -2x^2(x + 3) = 0 \). Корни: \( x=0 \) и \( x=-3 \). Точки \( (0; 0) \) и \( (-3; 0) \).

4. Периодичность:

Функция не является периодической.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

1. Найдем первую производную: \( y' = ( -2x^3 - 6x^2 )' = -6x^2 - 12x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( -6x^2 - 12x = 0 \) \( \Rightarrow -6x(x + 2) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
3. Исследуем знак производной:
• На интервале \( (-\infty; -2) \) \( y' < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (-2; 0) \) \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (0; +\infty) \) \( y' < 0 \) (функция убывает).
4. Определим точки экстремума:
• В точке \( x = -2 \) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума. \( y(-2) = -2(-2)^3 - 6(-2)^2 = -2(-8) - 6(4) = 16 - 24 = -8 \). Точка минимума: \( (-2; -8) \).
• В точке \( x = 0 \) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума. \( y(0) = 0 \). Точка максимума: \( (0; 0) \).

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

1. Найдем вторую производную: \( y'' = (-6x^2 - 12x)' = -12x - 12 \).
2. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: \( -12x - 12 = 0 \) \( \Rightarrow -12(x + 1) = 0 \). Точка: \( x = -1 \).
3. Исследуем знак второй производной:
• На интервале \( (-\infty; -1) \) \( y'' < 0 \) (функция выпукла вниз).
• На интервале \( (-1; +\infty) \) \( y'' > 0 \) (функция выпукла вверх).
4. Определим точку перегиба:
• В точке \( x = -1 \) вторая производная меняет знак. \( y(-1) = -2(-1)^3 - 6(-1)^2 = -2(-1) - 6(1) = 2 - 6 = -4 \). Точка перегиба: \( (-1; -4) \).

7. Построение графика:

Используя полученные точки и информацию о монотонности и выпуклости, строим график.

Ответ:

• Промежутки монотонности: \( (-\infty; -2] \) — убывает, \( [-2; 0] \) — возрастает, \( [0; +\infty) \) — убывает.
• Точки экстремума: \( (-2; -8) \) — точка минимума, \( (0; 0) \) — точка максимума.
• Промежутки выпуклости: \( (-\infty; -1) \) — выпукла вниз, \( (-1; +\infty) \) — выпукла вверх.
• Точка перегиба: \( (-1; -4) \).