2. Найти производную третьего порядка функции \( y = 4^x \) в точке \( x_0=1 \).

Решение:

Найдем первую, вторую и третью производные функции \( y = 4^x \).

1. Первая производная: \( y' = (4^x)' = 4^x \ln 4 \).
2. Вторая производная: \( y'' = (4^x \ln 4)' = \ln 4 \cdot (4^x)' = \ln 4 \cdot 4^x \ln 4 = 4^x (\ln 4)^2 \).
3. Третья производная: \( y''' = (4^x (\ln 4)^2)' = (\ln 4)^2 \cdot (4^x)' = (\ln 4)^2 \cdot 4^x \ln 4 = 4^x (\ln 4)^3 \).

Теперь вычислим значение третьей производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ y'''(1) = 4^1 (\ln 4)^3 = 4 (\ln 4)^3 \]

Можно упростить, так как \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \):

\[ y'''(1) = 4 (2 \ln 2)^3 = 4 \cdot 8 (\ln 2)^3 = 32 (\ln 2)^3 \]

Ответ: \( 4 (\ln 4)^3 \) или \( 32 (\ln 2)^3 \).