№7. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 см и 15 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

Решение:

1. Найдём диагональ основания \( d_{осн} \): \( d_{осн} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \) см.

2. Диагональ параллелепипеда \( D \) и диагональ основания \( d_{осн} \) образуют прямоугольный треугольник с высотой параллелепипеда \( h \). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Следовательно, \( \triangle D d_{осн} h \) — прямоугольный равнобедренный треугольник, где \( h = d_{осн} \).

3. Высота параллелепипеда \( h = 17 \) см.

4. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда: \( S_{полн} = 2(ab + ah + bh) \).

Подставляем значения: \( a = 8 \) см, \( b = 15 \) см, \( h = 17 \) см.

\( S_{полн} = 2(8 \cdot 15 + 8 \cdot 17 + 15 \cdot 17) \).

\( S_{полн} = 2(120 + 136 + 255) \).

\( S_{полн} = 2(511) = 1022 \) см².

Ответ: 1022 см².