№6. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности данной призмы.

Решение:

1. Боковое ребро призмы является её высотой, значит \( h = 8 \) см.

2. Диагональ боковой грани (прямоугольника) равна 10 см, а одна из сторон — высота призмы \( h = 8 \) см. Найдём сторону основания \( a \) (вторую сторону прямоугольника): \( a = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \) см.

3. Площадь основания (правильного треугольника): \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \) см².

4. Периметр основания: \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \) см.

5. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 8 = 144 \) см².

6. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9 \sqrt{3} + 144 = 18 \sqrt{3} + 144 \) см².

Ответ: \( 144 + 18\sqrt{3} \) см².