7). Решите уравнение: \( 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0 \)

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \).

Получаем уравнение: \( 2y^2 - y - 1 = 0 \).

1. Решаем квадратное уравнение:
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).
   Найдем корни:
   \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
   \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
2. Возвращаемся к замене:
   Мы получили два случая:
   1) \( \sin x = 1 \)
   Это частный случай. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - любое целое число.
3. 2) \( \sin x = -\frac{1}{2} \)
   Основные решения: \( x = -\frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{7\pi}{6} \).
   Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) - целые числа.