6) Найдите \( -2 − − \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \), \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество:
   \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)
   \[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \]
   \[ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 \]
   \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{7}{16} \]
   \[ \sin^2\alpha = \frac{16 - 7}{16} \]
   \[ \sin^2\alpha = \frac{9}{16} \]
2. Находим \( \sin\alpha \):
   \( \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4} \)
3. Определяем знак \( \sin\alpha \) по условию:
   Угол \( \alpha \) принадлежит четвертому квадранту \( (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \). В этом квадранте синус отрицателен.
   Следовательно, \( \sin\alpha = -\frac{3}{4} \).
4. Находим значение выражения \( -2 - \sin\alpha \):
   \[ -2 - \left(-\frac{3}{4}\right) = -2 + \frac{3}{4} \]
   \[ = -\frac{8}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} \]

Ответ: \( -\frac{5}{4} \)