7. Найдите производную: (lnx) / (√x)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = \ln x \) и \( v = \sqrt{x} = x^{1/2} \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
• \( v' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \]

Упростим выражение:

\[ y' = \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \]

Приведем числитель к общему знаменателю \( 2x \):

\[ y' = \frac{\frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - x \cdot \ln x}{2x}}{x} = \frac{\frac{2x - x\ln x}{2x}}{x} \]

Теперь разделим полученную дробь на \( x \):

\[ y' = \frac{2x - x\ln x}{2x \cdot x} = \frac{2x - x\ln x}{2x^2} \]

Вынесем \( x \) из числителя:

\[ y' = \frac{x(2 - \ln x)}{2x^2} \]

Сократим \( x \):

\[ y' = \frac{2 - \ln x}{2x} \]

Ответ: \( \frac{2 - \ln x}{2x} \)