12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = -1/3 x³ - 2x² + 3

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции \( y = -\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3 \) необходимо найти её производную и проанализировать её знак.

1. Находим производную функции:

\[ y' = \left(-\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3\right)' \]\[ y' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 0 \]\[ y' = -x^2 - 4x \]

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -x^2 - 4x = 0 \]\[ -x(x + 4) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -4 \).

3. Анализируем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

Критические точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 0) \) и \( (0; +\infty) \).

• На интервале \( (-\infty; -4) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = -5 \).
\[ y'(-5) = -(-5)^2 - 4(-5) = -25 + 20 = -5 \] \( y' < 0 \), значит, функция убывает.
• На интервале \( (-4; 0) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = -2 \).
\[ y'(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \] \( y' > 0 \), значит, функция возрастает.
• На интервале \( (0; +\infty) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 1 \).
\[ y'(1) = -(1)^2 - 4(1) = -1 - 4 = -5 \] \( y' < 0 \), значит, функция убывает.

4. Определяем промежутки монотонности:

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -4] \) и \( [0; +\infty) \).
• Функция возрастает на интервале \( [-4; 0] \).

5. Определяем точки экстремума:

• В точке \( x = -4 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
\[ y_{min} = y(-4) = -\frac{1}{3}(-4)^3 - 2(-4)^2 + 3 = -\frac{1}{3}(-64) - 2(16) + 3 = \frac{64}{3} - 32 + 3 = \frac{64}{3} - 29 = \frac{64 - 87}{3} = -\frac{23}{3} \]
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
\[ y_{max} = y(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \]

Ответ:

Промежутки монотонности:

• Убывает на \( (-\infty; -4] \) и \( [0; +\infty) \).
• Возрастает на \( [-4; 0] \).

Точки экстремума:

• Минимум в точке \( x = -4 \), \( y_{min} = -\frac{23}{3} \).
• Максимум в точке \( x = 0 \), \( y_{max} = 3 \).