7. Найдите производную: \(\left(\frac{\text{arc} cosx}{x}\right)'\)

Решение:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. Обозначим \( u = \text{arc} cosx \) и \( v = x \).
2. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (\text{arc} cosx)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \).
• \( v' = (x)' = 1 \).
3. Подставим в формулу производной частного:
• \( \left(\frac{\text{arc} cosx}{x}\right)' = \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \cdot x - \text{arc} cosx \cdot 1}{x^2} \).
• \( = \frac{-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \text{arc} cosx}{x^2} \).
4. Приведём к общему знаменателю в числителе:
• \( = \frac{-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\text{arc} cosx \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 - x^2}}}{x^2} \).
• \( = \frac{-\left(x + \text{arc} cosx \sqrt{1 - x^2}\right)}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} \).

Ответ: \( -\frac{x + \text{arc} cosx \sqrt{1 - x^2}}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} \).