12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: \( y = x^3 + 3x^2 + 4 \)

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума найдём первую производную функции и определим её знаки.

1. Найдём первую производную функции \( y = x^3 + 3x^2 + 4 \):
• \( y' = (x^3)' + (3x^2)' + (4)' = 3x^2 + 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \( 3x^2 + 6x = 0 \).
• \( 3x(x + 2) = 0 \).
• \( x = 0 \) или \( x = -2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 3(9) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-2, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3(1) - 6 = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (0, \infty) \): Возьмём \( x = 1 \). \( y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
4. Точки экстремума:
• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. \( y_{max} = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 4 = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 \).
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. \( y_{min} = (0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 4 \).

Ответ:

• Промежутки монотонности:
• Функция возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, \infty) \).
• Функция убывает на \( [-2, 0] \).
• Точки экстремума:
• Максимум в точке \( x = -2 \), \( y_{max} = 8 \).
• Минимум в точке \( x = 0 \), \( y_{min} = 4 \).