11. Решите неравенство: \(3 \cdot 7^{x+1} + 5 \cdot 7^{x-1} < 152\)

Решение:

Решим показательное неравенство.

1. Преобразуем члены неравенства, вынеся общий множитель \( 7^{x-1} \):
• \( 3 \cdot 7^{x+1} = 3 \cdot 7^{x-1+2} = 3 \cdot 7^{x-1} 7^2 = 3 \cdot 49 7^{x-1} = 147 7^{x-1} \).
• \( 5 \cdot 7^{x-1} \) остаётся без изменений.
2. Подставим в неравенство:
• \( 147 7^{x-1} + 5 7^{x-1} < 152 \).
• \( (147 + 5) 7^{x-1} < 152 \).
• \( 152 7^{x-1} < 152 \).
3. Разделим обе части на 152 (положительное число, знак неравенства не меняется):
• \( 7^{x-1} < 1 \).
4. Представим \( 1 \) как \( 7^0 \):
• \( 7^{x-1} < 7^0 \).
5. Поскольку основание степени \( 7 > 1 \), сравниваем показатели степеней:
• \( x - 1 < 0 \).
• \( x < 1 \).

Ответ: \( x < 1 \).