7. На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠HBA.

Задание 7. Синус угла в параллелограмме

Дано: Параллелограмм ABCD. На рисунке показано, что \( AB = 6 \) и \( BH \) — высота, равная 3. \( H \) — точка на стороне AD.

Найти: \( \text{sin } ∠HBA \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ∆ABH \). В этом треугольнике \( AB \) — гипотенуза, \( BH \) — катет, противолежащий углу \( ∆BAH \), а \( AH \) — катет, противолежащий углу \( ∆HBA \).
2. Угол \( ∆HBA \) — это угол, который нам нужно найти.
3. По данным рисунка, \( AB = 6 \) и \( BH = 3 \).
4. Синус угла \( ∆HBA \) в прямоугольном треугольнике \( ∆ABH \) равен отношению противолежащего катета \( AH \) к гипотенузе \( AB \). Чтобы найти \( AH \), нам нужно сначала найти \( \text{sin } ∠BAH \).
5. В параллелограмме \( ∆BAH \) и \( ∆HBA \) являются острыми углами.
6. В параллелограмме \( ABCD \), \( ∆ABC + ∆BAD = 180^\circ \).
7. Из \( ∆ABH \) прямоугольного, \( \text{sin } ∠BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
8. Тогда \( ∆BAH = 30^\circ \).
9. \( ∆HBA = 90^\circ - ∆BAH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
10. \( \text{sin } ∆HBA = \text{sin } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: Синус угла HBA равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).