6) √x + 1 + √2x + 3 = 1

Решение:

Перенесём известный член уравнения в правую часть:

1. \( \sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{2x+3} \)
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x+1 = (1 - \sqrt{2x+3})^2 \)
3. \( x+1 = 1 - 2\sqrt{2x+3} + (2x+3) \)
4. \( x+1 = 1 - 2\sqrt{2x+3} + 2x+3 \)
5. \( x+1 = 2x+4 - 2\sqrt{2x+3} \)
6. Выразим корень: \( 2\sqrt{2x+3} = 2x+4 - x - 1 \)
7. \( 2\sqrt{2x+3} = x+3 \)
8. Снова возведём обе части в квадрат: \( (2\sqrt{2x+3})^2 = (x+3)^2 \)
9. \( 4(2x+3) = x^2 + 6x + 9 \)
10. \( 8x+12 = x^2 + 6x + 9 \)
11. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 6x - 8x + 9 - 12 = 0 \)
12. \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
14. Корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 \)
15. \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1 \)
16. Проверим корни в исходном уравнении:
17. Для \( x=3 \): \( \sqrt{3+1} + \sqrt{2\cdot3+3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( 5
    e 1 \), значит, \( x=3 \) — посторонний корень.
18. Для \( x=-1 \): \( \sqrt{-1+1} + \sqrt{2\cdot(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1 \). \( 1 = 1 \), значит, \( x=-1 \) — верный корень.

Ответ: x = -1