6. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный.
• Окружность вписана в треугольник ABC.
• Точка касания K на боковой стороне AC делит её на отрезки AK = 4 см и KC = 3 см (считая от основания A).
• AC = AK + KC = 4 + 3 = 7 см.

Найти: Периметр треугольника P = AB + BC + AC.

Решение:

1. Свойства касательных: Из точки, взятой вне окружности, к окружности можно провести две касательные, и длины отрезков от этой точки до точек касания равны.
2. Отрезки от вершины C: Так как AC = 7 см, то точка касания K делит сторону AC на отрезки 4 см и 3 см. По условию, считая от основания, отрезок KC = 3 см.
3. Отрезки от вершины B: Окружность касается основания BC в точке M. По свойству касательных, CM = CK = 3 см.
4. Отрезки от вершины A: Точка касания на стороне AB будет обозначена как L. Тогда AL = AK = 4 см.
5. Длина боковой стороны: Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC. Следовательно, AB = 7 см.
6. Проверка: Боковая сторона AC = AK + KC = 4 + 3 = 7 см. Боковая сторона AB = AL + LB. Если AB = AC = 7 см, то LB = AB - AL = 7 - 4 = 3 см.
7. Основание BC: Основание BC = BM + MC. Так как CM = 3 см, то BM должно быть равно 3 см.
8. Периметр: Периметр треугольника P = AB + BC + AC = 7 см + (3 + 3) см + 7 см = 7 + 6 + 7 = 20 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 20 см.