5. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD. Пусть M, N, P, Q — середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Проведём диагональ BD.
2. Рассмотрим треугольник ABD: MN — средняя линия, так как соединяет середины сторон AB и AD. По свойству средней линии, MN || BD и \[ MN = \frac{1}{2} BD \].
3. Рассмотрим треугольник CBD: PQ — средняя линия, так как соединяет середины сторон CD и CB. По свойству средней линии, PQ || BD и \[ PQ = \frac{1}{2} BD \].
4. Сравним MN и PQ: Так как MN || BD и PQ || BD, то MN || PQ. Также MN = \[ \frac{1}{2} BD \] и PQ = \[ \frac{1}{2} BD \], следовательно, MN = PQ.
5. Вывод: Четырёхугольник MNPQ имеет две противоположные стороны MN и PQ, которые параллельны и равны. Этого достаточно, чтобы утверждать, что MNPQ — параллелограмм.