6. Решите систему уравнений \( \begin{cases} \log_2 x + 2 \log_2 y = 3 \\ 2 \log_2 x - \log_2 y = 6 \end{cases} \)

Решение:

Обозначим \( a = \log_2 x \) и \( b = \log_2 y \). Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 2a - b = 6 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( b \): \( b = 2a - 6 \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( a + 2(2a - 6) = 3 \)

\( a + 4a - 12 = 3 \)

\( 5a = 15 \)

\( a = 3 \)

Теперь найдём \( b \):

\( b = 2a - 6 = 2(3) - 6 = 6 - 6 = 0 \)

Вернёмся к исходным переменным:

\( \log_2 x = a = 3 \) => \( x = 2^3 = 8 \)

\( \log_2 y = b = 0 \) => \( y = 2^0 = 1 \)

Проверим решение:

\( \log_2 8 + 2 \log_2 1 = 3 + 2(0) = 3 \)

\( 2 \log_2 8 - \log_2 1 = 2(3) - 0 = 6 \)

Система решена верно.

Ответ: x = 8, y = 1.