7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 3 см, а двугранный угол при ребре основания равен 45°.

Решение:

Обозначим:

• \( H \) — высота пирамиды;
• \( a \) — сторона основания;
• \( h_{бок} \) — апофема (высота боковой грани);
• \( \alpha \) — двугранный угол при ребре основания.

Дано: \( H = 3 \) см, \( \alpha = 45^{\circ} \).

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. Апофема \( h_{бок} \) перпендикулярна ребру основания. Двугранный угол \( \alpha \) между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и линией, соединяющей середину ребра основания с центром квадрата (это половина стороны основания).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), апофемой \( h_{бок} \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \).

В этом треугольнике \( H \) — катет, \( \frac{a}{2} \) — катет, \( h_{бок} \) — гипотенуза.

Двугранный угол \( \alpha \) — это угол между \( h_{бок} \) и \( \frac{a}{2} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном \( H \), \( \frac{a}{2} \) и \( h_{бок} \), угол между \( h_{бок} \) и \( \frac{a}{2} \) равен \( \alpha \).

Из определения тангенса в этом треугольнике:

\( \tan \alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} \)

Подставим известные значения:

\( \tan 45^{\circ} = \frac{3}{\frac{a}{2}} \)

\( 1 = \frac{6}{a} \)

\( a = 6 \) см.

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).

\( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36 \) см³.

Ответ: 36 см³.