10. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса равна 4√2. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Обозначим:

• \( \alpha \) — центральный угол развёртки боковой поверхности конуса;
• \( R \) — радиус основания конуса;
• \( L \) — образующая конуса;
• \( H \) — высота конуса.

Дано: \( \alpha = 120^{\circ} \), \( H = 4\sqrt{2} \).

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi RL + \pi R^2 \).

Связь между центральным углом развёртки и радиусом основания и образующей:

\( \frac{\alpha}{360^{\circ}} = \frac{R}{L} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{R}{L} \)

\( \frac{1}{3} = \frac{R}{L} \) \( \implies \) \( L = 3R \).

Теперь используем прямоугольный треугольник, образованный высотой \( H \), радиусом основания \( R \) и образующей \( L \). По теореме Пифагора:

\( H^2 + R^2 = L^2 \)

Подставим \( H = 4\sqrt{2} \) и \( L = 3R \):

\( (4\sqrt{2})^2 + R^2 = (3R)^2 \)

\( 16 \cdot 2 + R^2 = 9R^2 \)

\( 32 + R^2 = 9R^2 \)

\( 32 = 8R^2 \)

\( R^2 = 4 \)

\( R = 2 \) (так как радиус не может быть отрицательным).

Теперь найдём образующую \( L \):

\( L = 3R = 3 \cdot 2 = 6 \).

Вычислим площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = \pi RL + \pi R^2 = \pi \cdot 2 \cdot 6 + \pi \cdot 2^2 = 12\pi + 4\pi = 16\pi \).

Ответ: 16π.