8. Решите уравнение sin x - cos x = 1.

Решение:

Данное уравнение можно решить двумя способами: графическим или алгебраическим.

Алгебраический способ (приведение к однородному):

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (\sin x - \cos x)^2 = 1^2 \)

\( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 \)

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и формулу двойного угла \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \):

\( 1 - \sin(2x) = 1 \)

\( -\sin(2x) = 0 \)

\( \sin(2x) = 0 \)

\( 2x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

\( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \) — целое число.

Теперь необходимо проверить полученные корни в исходном уравнении, так как возведение в квадрат могло привести к посторонним корням.

• Если \( k = 0 \), то \( x = 0 \). \( \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1 \). \( -1
  e 1 \). Посторонний корень.
• Если \( k = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} \). \( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1 \). \( 1 = 1 \). Подходит.
• Если \( k = 2 \), то \( x = \pi \). \( \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1 \). \( 1 = 1 \). Подходит.
• Если \( k = 3 \), то \( x = \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \frac{3\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} = -1 - 0 = -1 \). \( -1
  e 1 \). Посторонний корень.
• Если \( k = 4 \), то \( x = 2\pi \). \( \sin 2\pi - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1 \). \( -1
  e 1 \). Посторонний корень.

Видим, что подходят корни вида \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число (т.е. \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ... \) и \( x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, ... \)).

Альтернативный способ (деление на \( \sqrt{2} \)):

Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \):

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Используем формулу синуса разности: \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \). Пусть \( \cos A = \frac{1}{\sqrt{2}} \) и \( \sin A = \frac{1}{\sqrt{2}} \), тогда \( A = \frac{\pi}{4} \).

\( \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n \) или \( x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n \) (где \( n \) — целое число).

Случай 1:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n \)

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)

Случай 2:

\( x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n \)

\( x = \pi + \pi n \)

Корни \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = \pi + \pi n \) включают в себя все решения.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) или \( x = \pi + \pi n \), где \( n \) — целое число.