6.17. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного короля, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Решение:

Шахматная доска имеет \( 8 \times 8 = 64 \) клетки.

Допустимая позиция — это такая, где короли не бьют друг друга. Король бьёт все соседние клетки (по горизонтали, вертикали и диагонали).

Сначала поставим белого короля. Для него есть 64 варианта клетки.

Рассмотрим, сколько клеток бьёт белый король, поставленный на определённую клетку.

• Если белый король стоит на углу (4 клетки), он бьёт 3 соседние клетки.
• Если белый король стоит на краю, но не на углу ( \( (8-2) \times 4 = 6 \times 4 = 24 \) клетки), он бьёт 5 соседних клеток.
• Если белый король стоит в центре ( \( 64 - 4 - 24 = 36 \) клеток), он бьёт 8 соседних клеток.

Для того, чтобы чёрный король не бил белого, чёрного короля нужно поставить на клетку, которая НЕ находится под боем белого короля.

Рассмотрим вариант постановки:

1. Поставим белого короля. У него 64 варианта.

2. Поставим чёрного короля. Он не должен стоять на соседней клетке с белым королём.

Общее количество пар клеток, где могут стоять короли: \( 64 \times 63 \) (так как они не могут стоять на одной клетке).

Теперь определим, в каких парах короли бьют друг друга.

Если белый король на любой из \( 64 \) клеток, то он бьёт от 3 до 8 клеток. Чёрный король может быть поставлен на одну из этих клеток.

Вместо этого, посчитаем, сколько клеток доступны для чёрного короля, если белый король уже стоит.

Количество клеток, на которые может встать чёрный король, чтобы не бить белого = \( 64 - \text{количество клеток, которые бьёт белый король} \).

Это сложный подсчёт, есть проще способ:

Общее число способов поставить двух разных фигур на 64 клетки: \( P_{64}^2 = 64 \times 63 = 4032 \).

Теперь посчитаем, в скольких случаях короли бьют друг друга. Для этого лучше посчитать, сколько клеток атакует король, когда он стоит на разных позициях:

• Угловые клетки (4): король атакует 3 клетки.
• Клетки на краю (не угловые) (24): король атакует 5 клеток.
• Внутренние клетки (36): король атакует 8 клеток.

Количество случаев, когда короли бьют друг друга:

\( 4 \times 3 \) (углы) + \( 24 \times 5 \) (край) + \( 36 \times 8 \) (центр) = \( 12 + 120 + 288 = 420 \) пар клеток, где короли бьют друг друга.

Общее количество способов поставить королей, чтобы они НЕ били друг друга = (Общее число способов поставить двух разных фигур) - (Число способов, где они бьют друг друга)

\( 4032 - 420 = 3612 \) способов.

Ответ: 3612 способов.