5. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 42, а боковые рёбра равны 29. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

1. Боковые грани — это равные равнобедренные треугольники. Основание каждого такого треугольника — сторона основания пирамиды \( a = 42 \). Боковые стороны — боковые рёбра пирамиды \( b = 29 \).
2. Чтобы найти площадь одной боковой грани, нам нужно найти её высоту — апофему \( h_a \). Апофема является высотой равнобедренного треугольника.
Разделим основание \( a \) пополам: \( \frac{a}{2} = \frac{42}{2} = 21 \). Используем теорему Пифагора для нахождения апофемы: \( h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2 \) \( h_a^2 + 21^2 = 29^2 \) \( h_a^2 + 441 = 841 \) \( h_a^2 = 841 - 441 = 400 \) \( h_a = \sqrt{400} = 20 \).
3. Площадь одной боковой грани \( S_{грани} \) равна:
\( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 20 = 420 \).
4. Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей трёх боковых граней:
\( S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 420 = 1260 \).

Ответ: 1260