10. Решите уравнение: 3 sin² 3x +10sin3xcos3x + 3cos² 3x = 0.

Решение:

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2{3x} \) (предполагая, что \( \cos{3x} \neq 0 \). Если \( \cos{3x} = 0 \), то \( \sin{3x} = \pm 1 \), и уравнение не выполняется: \( 3(1) + 10(0) + 0 = 3 \neq 0 \)).
\( \frac{3\sin^2{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{10\sin{3x}\cos{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{3\cos^2{3x}}{\cos^2{3x}} = 0 \)
2. Используя \( \mathrm{tg}(3x) = \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}} \), получим:
\( 3\mathrm{tg}^2{3x} + 10\mathrm{tg}{3x} + 3 = 0 \)
3. Сделаем замену: \( t = \mathrm{tg}{3x} \).
\( 3t^2 + 10t + 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение относительно \( t \):
\( D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \) \( t_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \) \( t_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \)
5. Вернемся к замене:
• \( \mathrm{tg}{3x} = -\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow 3x = \mathrm{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
• \( \mathrm{tg}{3x} = -3 \) \( \Rightarrow 3x = \mathrm{arctg}(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
6. Выразим \( x \):
\( x = \frac{1}{3}\mathrm{arctg}(-\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} \) \( x = \frac{1}{3}\mathrm{arctg}(-3) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{3}\mathrm{arctg}(-\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{3}, x = \frac{1}{3}\mathrm{arctg}(-3) + \frac{\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z} \)