11. Найдите наименьшее значение функции у = х³ - 3х + 23 на отрезке [0; 2].

Решение:

1. Найдем производную функции:
\( y' = (x^3 - 3x + 23)' = 3x^2 - 3 \)
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\( 3x^2 - 3 = 0 \) \( 3x^2 = 3 \) \( x^2 = 1 \) \( x = \pm 1 \)
3. Из критических точек \( x = 1 \) и \( x = -1 \) только \( x = 1 \) попадает в отрезок \( [0; 2] \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей на отрезок:
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 23 = 23 \)
• При \( x = 1 \): \( y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 23 = 1 - 3 + 23 = 21 \)
• При \( x = 2 \): \( y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 23 = 8 - 6 + 23 = 25 \)
5. Сравним полученные значения: \( 23, 21, 25 \). Наименьшее значение равно \( 21 \).

Ответ: 21