5. Найдите наибольшее значение функции y на отрезке [0;5]. y = -2x² + 8x – 7.

Решение:

Функция \( y = -2x^2 + 8x - 7 \) является параболой, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Наибольшее значение функции будет достигаться либо в вершине параболы, либо на границах отрезка [0; 5].

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \):
2. \( x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)
3. Так как \( x_в = 2 \) находится внутри отрезка [0; 5], то наибольшее значение функции будет в вершине.
4. Найдем значение функции в вершине:
5. \( y(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 7 = -2(4) + 16 - 7 = -8 + 16 - 7 = 1 \)
6. Для полноты решения проверим значения на концах отрезка:
7. \( y(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 7 = -7 \)
8. \( y(5) = -2(5)^2 + 8(5) - 7 = -2(25) + 40 - 7 = -50 + 40 - 7 = -17 \)
9. Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение равно 1.

Ответ: 1.