4. Вычислите: \( \frac{12^{11} \cdot 2^9}{24} \).

Решение:

Распишем число 24 как произведение простых множителей:

\[ 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 \]

Преобразуем числитель, представив 12 как \( 3 \cdot 4 \) или \( 3 \cdot 2^2 \):

\[ 12^{11} = (3 \cdot 2^2)^{11} = 3^{11} \cdot (2^2)^{11} = 3^{11} \cdot 2^{22} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{12^{11} \cdot 2^9}{24} = \frac{(3^{11} \cdot 2^{22}) \cdot 2^9}{3 \cdot 2^3} \]

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ = \frac{3^{11} \cdot 2^{22+9}}{3^1 \cdot 2^3} = \frac{3^{11} \cdot 2^{31}}{3^1 \cdot 2^3} \]

Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями ( \( a^m / a^n = a^{m-n} \) ):

\[ = 3^{11-1} \cdot 2^{31-3} = 3^{10} \cdot 2^{28} \]

Ответ: \( 3^{10} \cdot 2^{28} \).