3) Найти производную функции f(x) = \(\frac{4x^2}{\sin x}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{4x^2}{\sin x} \) используем правило дифференцирования частного:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Здесь \( u = 4x^2 \) и \( v = \sin x \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

\[ u' = (4x^2)' = 4 \cdot 2x = 8x \]

\[ v' = (\sin x)' = \cos x \]

Подставим в формулу:

\[ f'(x) = \frac{(8x)(\sin x) - (4x^2)(\cos x)}{(\sin x)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{8x \sin x - 4x^2 \cos x}{\sin^2 x} \]

Ответ: \(\frac{8x \sin x - 4x^2 \cos x}{\sin^2 x}\)