13) Решить неравенство: log₂(2x-3) < 3

Решение:

Для решения неравенства \( \log_2 (2x - 3) < 3 \) учтём область определения логарифма и свойства логарифмической функции.

1. Область определения:

Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

\[ 2x - 3 > 0 \]

\[ 2x > 3 \]

\[ x > \frac{3}{2} \]

2. Решение неравенства:

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. Применим свойство:

\[ \log_2 (2x - 3) < 3 \]

\[ \log_2 (2x - 3) < \log_2 (2^3) \]

\[ \log_2 (2x - 3) < \log_2 8 \]

Так как функция возрастает, снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства:

\[ 2x - 3 < 8 \]

\[ 2x < 8 + 3 \]

\[ 2x < 11 \]

\[ x < \frac{11}{2} \]

\[ x < 5,5 \]

3. Объединение условий:

Учитываем область определения \( x > 1,5 \) и полученное решение \( x < 5,5 \).

Таким образом, решением неравенства является интервал:

\[ 1,5 < x < 5,5 \]

Ответ: (1,5; 5,5)